,
untuk suatu nilai . Bagaimana menghitung nilai ? Dengan menyelesaikan integral berikut, Bagi yang tidak terlalu menyukai kalkulus , aproksimasi Monte Carlo bisa menjadi alternatif pilihan untuk mencari nilai dari integral di atas. Bagaimana caranya?- Misalkan kita tertarik terhadap parameter .
- Misalkan pula adalah realisasi dari sampel yang berasal dari distribusi .
- Seandainya kita bisa mengambil sampel, misal sebanyak nilai dari distribusi posterior , yaitu:
Law of large numbers
Jika adalah sampel i.i.d dari distribusi , maka untuk .
Yang berarti:- distribusi empiris dari
- median dari
.
Jika diambil sampel untuk menggunakan metode Monte Carlo, maka seperti dalam grafik berikut: [caption id="attachment_2439" align="aligncenter" width="300"] Histogram dan densitas (empiris = merah, sebenarnya = biru) untuk data dari distribusi Gamma (38,43) menggunakan metode Monte Carlo. M adalah ukuran sampel.[/caption] Terlihat bahwa semakin besar ukuran sampel, maka distribusi empiris makin mendekati distribusi yang sebenarnya. Untuk contoh model Poisson di atas, karena dapat diperoleh solusi analitik untuk distribusi posteriornya:, dan
maka, beberapa ringkasan numerik untuk kedua parameter tersebut juga dapat diperoleh langsung. Misal untuk data A:- mean
- Interval kepercayaan sedemikian sehingga
Central limit theorem:
Misalkan adalah mean dari sampel Monte Carlo, maka
Sehingga, standar error Monte Carlo adalah, dengan .
Aproksimasi Monte Carlo untuk interval kepercayaan 95% dari mean posterior adalah . Bagaimana menggunakannya? Misal, dari sampel Monte Carlo berukuran M=100 diperoleh . Maka, standard error Monte Carlo adalah . Jika ingin selisih antara hasil estimasi dari Monte Carlo dengan sekecil mungkin, misal dengan probabilitas tinggi, maka ukuran sampel Monte Carlo harus ditambah menjadi:.
Secara grafis juga bisa ditentukan kira - kira ukuran sampel yang diperlukan supaya estimasi Monte Carlo sedekat mungkin dengan nilai sebenarnya. Dengan syntax R berikut, diperolah grafik perubahan nilai mean, , dan kuantil ke 97.5% ( dimana ) untuk ukuran sampel Monte Carlo hingga 1000. [caption id="attachment_2443" align="aligncenter" width="300"] Nilai estimasi berdasarkan sampel Monte Carlo. Saat ukuran sampel membesar, estimasi semakin stabil. Garis horizontal adalah nilai eksak.[/caption] Bagaimana jika ingin melakukan prediksi? Gunakan distribusi predictive. Kembali pada contoh model Poisson:- Jika diketahui nilai sebenarnya, maka dapat ditentukan probabilitas terjadi kasus korupsi di lembaga A menggunakan :
Model sampling : .
Akan tetapi, nilai kita tidak tahu nilai sebenarnya dari , sehingga diduga melalui prior .
Untuk prediksi, selanjutnya berdasarkan apakah ada tambahan informasi data sampel atau tidak.
- Seandainya tidak ada data sample, maka distribusi predictivenya adalah:
Bentuk di atas disebut prior predictive distribution.
- Seandainya ada data sample , maka distribusi predictive adalah:
Bentuk di atas disebut posterior predictive distribution.
Dalam aplikasinya, cukup rumit untuk dievaluasi secara langsung. Prosedur Monte Carlo bisa digunakan dalam hal ini, secara tidak langsung....
adalah sampel dari distribusi marginal posterior , a.k.a distribusi posterior predictive. Penghitungan statistik yang akan diprediksi dengan mudah dilakukan pada data sampel ini. Sebagai contoh, kembali pada pertanyaan di awal pembahasan: Ada dugaan bahwa banyaknya kasus korupsi di lembaga B lebih banyak dibandingkan dengan di lembaga A. Secara matematis, dugaan ini dapat dituliskan sebagai , dengan suatu nilai . Bagaimana menghitung nilai ?...
Dengan menggunakan R, prosedur di atas adalah:
Hasil di atas menunjukkan bahwa probabilitas mendapatkan lebih banyak kasus korupsi di lembaga B dibandingkan dengan lembaga A adalah 0.3457?
Apakah angka ini cukup menunjang klaim kebijakan e-budgeting menekan angka korupsi?
Syntax R untuk contoh di atas dapat diunduh di sini(montecarlo).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Relevant & Respectful Comments Only.