Simulasi Dalil Limit Pusat dengan R

By
Dalil limit pusat menyatakan:
Misalkan X1,X2,... adalah barisan variabel random yang iid, masing - masing dengan mean µ dan variansi s2. Maka distribusi dari X1+X2+...+Xn-nµsnv akan menuju ke distribusi normal standar saat n?8.
Perhatikan bahwa:
  1. Distribusi dari Xi adalah sembarang, tidak harus berasal dari distribusi normal.
  2. Yang mengikuti distribusi normal standar adalah rerata sampel dari Xi.
Bagaimana ilustrasi dari teorema ini?
Perhatikan contoh berikut.
Contoh 1
Misalkan Xi berdistribusi normal dengan mean µ=5 dan variansi s2=32. Akan diambil sampel berukuran n=4 dari distribusi ini. Pengambilan sampel dilakukan sebanyak n.percobaan=100. Untuk setiap sampel akan dihitung rerata sampel. Maka hasilnya akan diperoleh 100 nilai rerata, sebagai berikut.
rerata1<-NA 
mu<-5 
sigma<-3 n<-4 
sigma.xbar<-sigma/sqrt(n) 
n.percobaan<-100 for (i in 1:n.percobaan){ 
 x<-rnorm(n,5,3) 
 xbar<-mean(x) 
 rerata1[i]<-(xbar-mu)/sigma.xbar 
 } 
hist(rerata1, prob=TRUE) 
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkblue", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")
rerata1
Bagaimana jika ukuran sampel diperbesar, misal n=10?
rerata2<-NA 
mu<-5 
sigma<-3 n<-10 sigma.xbar<-sigma/sqrt(n) 
n.percobaan<-100 for (i in 1:n.percobaan){
 x<-rnorm(n,5,3)
 xbar<-mean(x)
 rerata2[i]<-(xbar-mu)/sigma.xbar
 } 
hist(rerata2, prob=TRUE) 
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1),
      col="darkblue", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")
rerata2 Bagaimana jika ukuran sampel diperbesar, misal n=1000? 
rerata3<-NA
mu<-5
sigma<-3
n<-1000
sigma.xbar<-sigma/sqrt(n)
n.percobaan<-100
for (i in 1:n.percobaan){
  x<-rnorm(n,5,3)
  xbar<-mean(x)
  rerata3[i]<-(xbar-mu)/sigma.xbar
  }
hist(rerata3, prob=TRUE)
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkblue", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")
rerata3 Perbandingan grafik untuk ketiga skenario tersebut adalah sebagai berikut. 
par(mfrow=c(1,3)) 
hist(rerata1, prob=TRUE, xlim=c(-3,3)) 
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1),
      col="darkblue", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n") 

hist(rerata2, prob=TRUE, xlim=c(-3,3)) 
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkred", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n") 

hist(rerata3, prob=TRUE, xlim=c(-3,3)) 
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkgreen", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")
rerata4
Apa yang dapat kalian simpulkan dari percobaan ini?
Contoh 2
Misalkan Xiberdistribusi uniform pada nilai 1 hingga 10. Akan diambil sampel berukuran n=4 dari distribusi ini. Pengambilan sampel dilakukan sebanyak n.percobaan=100 kali. Untuk setiap sampel akan dihitung rerata sampel. Maka hasilnya akan diperoleh 100 nilai rerata, sebagai berikut.
rerata1<-NA
a<-1
b<-10
varX<-(b-a)^2/12
mu<-(a+b)/2
sigma<-sqrt(varX)
n<-4
sigma.xbar<-sigma/sqrt(n)
n.percobaan<-100
for (i in 1:n.percobaan){
  x<-runif(n,a,b)
  xbar<-mean(x)
  rerata1[i]<-(xbar-mu)/sigma.xbar
  }
hist(rerata1, prob=TRUE)
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkblue", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")
rerata5
Bagaimana jika ukuran sampel diperbesar, misal n=10?
rerata2<-NA
a<-1
b<-10
varX<-(b-a)^2/12
mu<-(a+b)/2
sigma<-sqrt(varX)
n<-10
sigma.xbar<-sigma/sqrt(n)
n.percobaan<-100
for (i in 1:n.percobaan){
  x<-runif(n,a,b)
  xbar<-mean(x)
  rerata2[i]<-(xbar-mu)/sigma.xbar
  }
hist(rerata2, prob=TRUE)
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkblue", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")
rerata6 Bagaimana jika ukuran sampel diperbesar, misal n=1000? 
rerata3<-NA
a<-1
b<-10
varX<-(b-a)^2/12
mu<-(a+b)/2
sigma<-sqrt(varX)
n<-1000
sigma.xbar<-sigma/sqrt(n)
n.percobaan<-100
for (i in 1:n.percobaan){
  x<-runif(n,a,b)
  xbar<-mean(x)
  rerata3[i]<-(xbar-mu)/sigma.xbar
  }
hist(rerata3, prob=TRUE)
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkblue", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")
rerata7 Perbandingan grafik untuk ketiga skenario tersebut adalah sebagai berikut. 
par(mfrow=c(1,3))
hist(rerata1, prob=TRUE, xlim=c(-3,3))
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkblue", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")

hist(rerata2, prob=TRUE, xlim=c(-3,3))
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkred", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")

hist(rerata3, prob=TRUE, xlim=c(-3,3))
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), 
      col="darkgreen", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")
Apa yang dapat kalian simpulkan dari percobaan ini?
LATIHAN
Lakukan simulasi serupa dengan variasi pada: distribusi (Binomial, Poisson, eksponensial, dll), ukuran sampel, maupun banyaknya percobaan (banyak pengambilan sampel).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Relevant & Respectful Comments Only.