Simulasi Strong Law of Large Numbers dengan RSimulasi Strong Law of Large Numbers dengan R

Teorema Strong Law of Large Numbers menyatakan

Misalkan X1,X2,... menyatakan sampel acak, dan misalkan E(Xi)=µ

Maka, dengan probability 1, X1+...+Xnn?µ saat n?8.

Apa yang sebenarnya ingin dinyatakan oleh teorema ini?

Contoh 1: Distribusi Normal

Misalkan ambil sampel berukuran n dari distribusi normal dengan mean µ=10dan variansi s2=32. Maka:

n<-10
x1<-rnorm(n,10,3);hist(x1)

rerata<-mean(x1); rerata

## [1] 9.027054

Misalkan ambil sampel dengan ukuran yang lebih besar, n=50

n<-50
x2<-rnorm(n,10,3);hist(x2)

rerata<-mean(x2); rerata

## [1] 9.782965

Bandingkan rerata kedua sampel tersebut. Mana yang lebih dekat dengan nilai µ yang sesungguhnya?

Sekarang, bandingkan jika dilakukan pengambilan sampel berulang, mulai ukuran sampel n=100,200,300,...,100,000.

rerata<-NA
n<-seq(100, 100000, by=100);
n.sim<-length(n)
for(i in 1:n.sim) { 
      x<-rnorm(n[i],10,3)
      rerata[i]<-mean(x)
      }
plot(n,rerata, type="l", xlab="Ukuran sample")
abline(h=10, col="red", lwd=2)

Terlihat bahwa semakin besar ukuran sample, rerata sampel (x¯=x1+x2+...+xnn) akan menuju ke nilai mean yang sesungguhnya, µ=10.

Contoh 2: Distribusi Bernoulli

Lakukan percobaan acak pelemparan koin. Misal, sisi muka diwakili dengan nilai 1, sisi belakang diwakili dengan nilai 0. Misalkan koinnya setimbang, yang berarti peluang muncul sisi muka dan sisi belakang adalah sama, p=1/2.

p<-0.5
n<-10
x<-rbinom(n,1,p); hist(x)

prob<-mean(x)

Rata - rata (frekuensi relatif) kemunculan sisi muka adalah

prob

## [1] 0.4

Bagaimana jika percobaannya dilakukan lebih banyak lagi? Misal, n=50 n=50 kali?

p<-0.5
n<-50
x<-rbinom(n,1,p); hist(x)

prob<-mean(x)

Rata - rata (frekuensi relatif) kemunculan sisi muka adalah

prob

## [1] 0.5

Bandingkan selisih rata - rata (frekuensi relatif = proporsi= taksiran peluang) dari kemunculan sisi muka pada percobaan pelemparan koin 10  kali dengan 50 kali. Mana yang nilainya lebih dekat dengan peluang sesungguhnya, p=1/2?

Sekarang, jika dilakukan barisan percobaan acak, dengan pelemparan koin sebanyak n=10,20,30,...,10000kali, maka frekuensi relatif dari kemunculan sisi muka adalah sebagai berikut.

rerata<-NA
p<-0.5
n<-seq(10, 10000, by=10)
n.sim<-length(n)
for(i in 1:n.sim) { 
      x<-rbinom(n[i],1,p); 
      rerata[i]<-mean(x)
      }
plot(rerata, type="l", xlab="Banyak pelemparan koin", ylab="Rerata (frekuensi relatif) kemunculan sisi Muka")
abline(h=0.5, col="red", lwd=2)

Dari grafik terlihat bahwa makin banyak jumlah percobaan dilakukan, maka rerata (frekuensi relatif) kemunculan sisi muka akan menuju ke nilai proporsi yang sesungguhnya, p=1/2.

LATIHAN

Lakukan simulasi di atas dengan beberapa variasi berikut:

1. Gunakan distribusi yang berbeda, misal distribusi uniform (a,b), variasikan pilihan nilai untuk a dan b
2. Ganti settingan nilai parameter distribusi. Misal, distribusi normal dengan mean µ=-5 dan variansi s2=4, atau distribusi Bernoulli dengan p=0.3.
3. Jumlah percobaan acak bisa lebih banyak (lebih sedikit), misal n=1,000,000 kali. Bandingkan nilai rerata sampel dengan saat perubahan sampelnya tiap 10, atau 50, atau 100, atau 1,000.